【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1 , ∠BAA1=60°.
(1)證明AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.
【答案】
(1)解:取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B,
因為CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
所以△AA1B為等邊三角形,所以OA1⊥AB,
又因為OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,
又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C;
(2)解:由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交線為AB,
所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC兩兩垂直.
以O為坐標原點, 的方向為x軸的正向,| |為單位長,建立如圖所示的坐標系,
可得A(1,0,0),A1(0, ,0),C(0,0, ),B(﹣1,0,0),
則 =(1,0, ), =(﹣1, ,0), =(0,﹣ , ),
設 =(x,y,z)為平面BB1C1C的法向量,則 ,即 ,
可取y=1,可得 =( ,1,﹣1),故cos< , >= =- ,
又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值,
故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為: .
【解析】(1)取AB的中點O,連接OC,OA1 , A1B,由已知可證OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,進而可得AB⊥A1C;(2)易證OA,OA1 , OC兩兩垂直以O為坐標原點, 的方向為x軸的正向,| |為單位長,建立坐標系,可得 , , 的坐標,設 =(x,y,z)為平面BB1C1C的法向量,則 ,可解得 =( ,1,﹣1),可求|cos< , >|,即為所求正弦值.
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定,需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行;一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:
經(jīng)計算的觀測值. 參照附表,得到的正確結論是
附表:
男 | 女 | 總計 | |
愛好 | 40 | 20 | 60 |
不愛好 | 20 | 30 | 50 |
總計 | 60 | 50 | 110 |
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
A. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
B. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關”
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于棱長為的正方體,有如下結論,其中錯誤的是( )
A. 以正方體的頂點為頂點的幾何體可以是每個面都為直角三角形的四面體;
B. 過點作平面的垂線,垂足為點,則三點共線;
C. 過正方體中心的截面圖形不可能是正六邊形;
D. 三棱錐與正方體的體積之比為.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(選修4﹣4:坐標系與參數(shù)方程)
已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ.
(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;
(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校高二文科分四個班,各班人數(shù)恰好成等差數(shù)列,高二數(shù)學調(diào)研測試后,對四個文科班的學生試卷按每班人數(shù)進行分層抽樣,對測試成績進行統(tǒng)計,人數(shù)最少的班抽取了人,抽取的所有學生成績分為組:,,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中第六組分數(shù)段的人數(shù)為人.
()求的值,并求出各班抽取的學生數(shù)各為多少人?
()在抽取的學生中,任取一名學生,求分數(shù)不小于分的概率(視頻率為概率).
()估計高二文科四個班數(shù)學成績的平均分
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C: =1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為3,直線y=2與C的兩個交點間的距離為 .
(1)求a,b;
(2)設過F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點,且|AF1|=|BF1|,證明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心坐標且與線y=3x+4相切,
(1)求圓C的方程;
(2)設直線與圓C交于M,N兩點,那么以MN為直徑的圓能否經(jīng)過原點,若能,請求出直線MN的方程;若不能,請說明理由.
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