Question

已知A（1，0），P為圓F：（x+1）²+y²=16上任意一點，線段AP的垂直平分線交半徑FP于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）設(shè)點D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l與點Q的軌跡交于不同的兩點M，N，使（

DM

+

DN

)•

MN

=0，若存在，求出直線l的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）直接由題意可得|QF|+|QA|=|FP|=4＞|FA|=2，符合橢圓定義，且得到長半軸和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，則點Q的軌跡方程可求；
（2）把條件（

DM

+

DN

)•

MN

=0轉(zhuǎn)化為|

DM

|=|

DN

|，假設(shè)存在符合條件的直線，設(shè)出直線方程y=kx+m，和（1）中求得的軌跡方程聯(lián)立，由判別式大于0得到4k²+3＞m²，再由|

DM

|=|

DN

|得到m=-3-4k²，兩式聯(lián)立得到矛盾式子，說明假設(shè)錯誤，即不存在不平行于x軸的直線l與點Q的軌跡交于不同的兩點M，N，使（

DM

+

DN

)•

MN

=0．

解答： 解：（1）依題意知：|QF|+|QA|=|FP|=4＞|FA|=2，
∴點Q的軌跡是以F，A為焦點的橢圓，
a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1=1；
（2）由（

DM

+

DN

）•

MN

=0，
得（

DM

+

DN

）⊥

MN

，則|

DM

|=|

DN

|，
假設(shè)存在符合條件的直線，則該直線的斜率一定存在，
設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，得4k²+3＞m²．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為Q（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

．
又∵|

DM

|=|

DN

|，
∴

y0-1

x0

=-

1

k

，
即

3m 3+4k2 -1

4km 3+4k2

=-

1

k

，
解得：m=-3-4k²．
代入4k²+3＞m²，得4k²+3＞（3+4k²）²，
即4k²＜-2，該式不成立．
∴假設(shè)錯誤．故滿足條件的直線不存在．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了由向量數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用反證法思想解題，屬中高檔題．