Question

一環(huán)保部門(mén)對(duì)某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，據(jù)測(cè)定，該處的污染指數(shù)等于附近污染源的污染強(qiáng)度與該處到污染源的距離之比．已知相距30km的A，B兩家化工廠(chǎng)（污染源）的污染強(qiáng)度分別為1和4，它們連線(xiàn)上任意一點(diǎn)處的污染指數(shù)等于兩化工廠(chǎng)對(duì)該處的污染指數(shù)之和．現(xiàn)擬在它們之間的連線(xiàn)上建一個(gè)公園，為使兩化工廠(chǎng)對(duì)其污染指數(shù)最小，則該公園應(yīng)建在距A化工廠(chǎng)

 

公里處．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)該公園應(yīng)建在距A化工廠(chǎng)xkm處，（0＜x＜30）．根據(jù)題意可得：兩化工廠(chǎng)對(duì)其污染指數(shù)f（x）=

1

x

+

4

30-x

．再利用導(dǎo)數(shù)即可得出其最小值．

解答： 解：設(shè)該公園應(yīng)建在距A化工廠(chǎng)xkm處，（0＜x＜30）．
由題意可得：兩化工廠(chǎng)對(duì)其污染指數(shù)f（x）=

1

x

+

4

30-x

．
∴f′(x)=-

1

x2

+

4

(30-x)2

=

3(x+30)(x-10)

x2(30-x)2

，
令f′（x）=0，解得x=10．
當(dāng)30＞x＞10時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)10＞x＞0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=10時(shí)取得最小值，f（10）=0.3．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極小值最小值，屬于中檔題．