Question

數(shù)列{a_n}中各項為正數(shù)，S_n為其前n項和，對任意n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在最大正整數(shù)p，使得命題“?n∈N^*，ln（p+a_n）＜2a_n”是真命題？若存在，求出p；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件2S_n=an+an2，2S n-1 =a_n-1+an-12，n≥2，兩式相減，推導(dǎo)出{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．由此能求出a_n=n．
（2）假設(shè)存在正整數(shù)p，滿足p+n＜e²ⁿ．構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^2x-x，x≥1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得到f（x）≥f（1）=e²-1，所以e²ⁿ-n≥e²-1．由此能推導(dǎo)出存在最大正整數(shù)p，使得命題“?n∈N^*，ln（p+a_n）＜2a_n”是真命題．

解答： 解：（1）由已知n∈N^*時，2S_n=an+an2，
∴2S n-1 =a_n-1+an-12，n≥2，
兩式相減，得2an=an+an2-an-1-an-12，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又a_n，a_n-1為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1，n≥2．…（4分）
∴{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
當n=1時，2S1=a1+a12，得a₁=1或a₁=0（舍去），∴a_n=n．…（6分）
（2）假設(shè)存在正整數(shù)p，滿足ln（p+a_n）＜2a_n，即p+n＜e²ⁿ．
∴p＜e²ⁿ-n，n∈N^*．…（8分）
設(shè)函數(shù)f（x）=e^2x-x，x≥1，則f（x）′=2e^2x-1．
當x≥1時，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）≥f（1）=e²-1，即有e²ⁿ-n≥e²-1．
∵p為滿足p＜e²-1的最大正整數(shù)，而6＜e²-1＜7，故p=6．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查最大正整數(shù)p的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．