Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx-

π

4

）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為

2

+1，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若x∈（0，

π

2

），求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意得到A的值和函數(shù)的半周期，由周期公式求出ω，則函數(shù)解析式可求；
（2）直接求解三角不等式得x的取值集合；
（3）由x的范圍求出2x-

π

4

的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)值域．

解答： 解：（1）由題意可知，A=

2

，

T

2

=

π

2

，
則T=

2π

ω

=π，ω=2．
∴f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)+1；
（2）由

2

sin(2x-

π

4

)+1≥0，得
sin(2x-

π

4

)≥-

2

2

，即-

π

4

+2kπ≤2x-

π

4

≤

5π

4

+2kπ，
解得：kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z．
∴使f（x）≥0成立的x的取值集合為{x|kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z}；
（3）當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，2x-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)．
∴

2

sin(2x-

π

4

)+1∈（0，

2

+1]．
∴函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋?，

2

+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，考查了三角不等式的解法，訓(xùn)練了三角函數(shù)值域的求解方法，是中檔題．