Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x-a（

1

2

x²+x）（e=2.718..）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可．
（II）f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（ae^x-1）．對a分類討論：當(dāng)a≤

1

e

時(shí)，當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=xe^x-（

1

2

x²+x），f′（x）=e^x+xe^x-x-1=（x+1）（e^x-1），
令f′（x）=0，解得x=-1或x=0．令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得-1＜x＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減法．
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-1）=

1

2

-

1

e

；當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（0）=0．
（II）f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（ae^x-1）．
①當(dāng)a≤

1

e

時(shí)，ae^x-1＜0，由x≥-1，可得f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=e-

3

2

a．
②當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，由ae^x-1=0，解得x=-lna．
當(dāng)-1≤x＜-lna時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)-lna＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=-lna時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（-lna）=-

1

2

ln2a+(1-

1

a

)lna．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．