Question

已知函數(shù)f（x）=

a

a2-1

（a^x-

1

ax

），（a＞0，且a≠1）
（1）用定義法判斷y=f（x）的單調(diào)性．
（2）若當(dāng)時x＜2，f（x）＜4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由函數(shù)單調(diào)性的定義對a分類說明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）中求得的函數(shù)為定義域內(nèi)的增函數(shù)，把x＜2時f（x）＜4恒成立轉(zhuǎn)化為f（2）≤4恒成立，代入后求解關(guān)于a的不等式得答案．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，任取x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-

1

ax1

)-

a

a2-1

(ax2-

1

ax2

)=

a

a2-1

(ax1-ax2)(

ax1•ax2+1

ax1ax2

)．
①當(dāng)0＜a＜1時，a²-10，ax1-ax2＞0，
∴

a

a2-1

(ax1-ax2)(

ax1•ax2+1

ax1ax2

)＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
②當(dāng)a＞1時，

a

a2-1

＞0，

ax1•ax2+1

ax1ax2

＞0，ax1-ax2＜0，
∴

a

a2-1

(ax1-ax2)(

ax1•ax2+1

ax1ax2

)＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
（2）由（1）知，當(dāng)a＞0，且a≠1時函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
要使當(dāng)x＜2時，f（x）＜4恒成立，
則f（2）≤4恒成立，
即

a

a2-1

(a2-

1

a2

)≤4恒成立．
也就是

a2+1

a

≤4恒成立．
解得：0＜a≤2+

3

且a≠1．
∴當(dāng)x＜2時，f（x）＜4恒成立的實數(shù)a的取值范圍為（0，1）∪（1，2

3

]．

點評：本題考查了利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式得解法，是中高檔題．