Question

19．設(shè)關(guān)于x的不等式x|x-a|-b＜0的解集為P，
（1）當(dāng)a=2，b=3時，求集合P；
（2）若a=1，且P={x|x＜-1}，求實數(shù)b的值；
（3）設(shè)常數(shù)b∈[1，4），P?{x|-2≤x≤2}，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=2，b=3代入已知，然后化不等式為不等式組，解之可得；
（2）方法一：若a=1，且P={x|x＜-1}，則-1為方程x|x-1|-b=0的根，代入可得答案；
方法二：把a=1代入可得f（x）的解析式，作函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)b的值；
（3）分類討論，結(jié)合P?{x|-2≤x≤2}，可得$\frac{{a}^{2}}{4}＜$b，且4-2a＜b，解得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2，b=3時，不等式x|x-2|-3＜0，
當(dāng)x≥2時，不等式可化為：x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3；
∴2≤x＜3，
當(dāng)x＜2時，不等式可化為：-x²+2x-3＜0，此時不等式恒成立，
綜上所述：P={x|x＜3}
（2）方法一：若a=1，不等式x|x-1|-b＜0，
∵P={x|x＜-1}，
∴當(dāng)x=-1時，x|x-1|-b=0，
解得：b=-2；
方法二：當(dāng)a=1時，不等式x|x-1|-b＜0
令f（x）=x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x}^{2}+x，x＜1\\{x}^{2}-x，x≥1\end{array}\right.$
作函數(shù)f（x）的圖象（如圖）．

∵當(dāng)x＜-1，f（x）的值域為（-∞，-2），
∴當(dāng)不等式的解集為P={x|x＜-1}時，b=-2．
（3）原不等式可化為：x|x-a|＜b，
∵b∈[1，4），
令f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-x}^{2}+ax，x＜a\\{x}^{2}-ax，x≥a\end{array}\right.$
若a＜0則f（x）的圖象如圖所示：

若P?{x|-2≤x≤2}，
則4-2a＜b，
即a＞$2-\frac{2}$，
同理：a=0時，也要滿足a＞$2-\frac{2}$，
當(dāng)a＞0時，f（x）的圖象如圖所示：

 若P?{x|-2≤x≤2}，
$\frac{{a}^{2}}{4}＜$b，且4-2a＜b，
即$2-\frac{2}$＜a＜2$\sqrt$，
綜上所述：a∈（$2-\frac{2}$，2$\sqrt$）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，涉及一元二次不等式的解法，以及函數(shù)的圖象和分類討論的思想，屬中檔題．