Question

如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T(mén)₁，T₂，T₃，T₄，已知每個(gè)元件正常工作的概率均為

2

3

，且各元件相互獨(dú)立．
（1）求電流能在M與N之間通過(guò)的概率；
（2）記隨機(jī)變量ξ表示T₁，T₂，T₃，T₄這四個(gè)元件中正常工作的元件個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記事件A_i為“元件T_i正常工作”，i=1，2，3，4，事件B表示“電流能在M與N之間通過(guò)”，則P（A_i）=

2

3

，由于A₁，A₂，A₃，A₄相互獨(dú)立，所以B=A4+

.

A4

A1A2+

.

A4

.

A1

A2A3，由此能求出電流能在M與N之間通過(guò)的概率．
（2）由題ξ～B（4，

2

3

），P（ξ=k）=

C

k 4

(

2

3

)k(

1

3

)4-k，k=0，1，2，3，4，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）記事件A_i為“元件T_i正常工作”，i=1，2，3，4，
事件B表示“電流能在M與N之間通過(guò)”，
則P（A_i）=

2

3

，由于A₁，A₂，A₃，A₄相互獨(dú)立，
所以B=A4+

.

A4

A1A2+

.

A4

.

A1

A2A3，
∴P（B）=P（A4+

.

A4

A1A2+

.

A4

.

A1

A2A3）
=

2

3

+

1

3

•

2

3

•

2

3

+

1

3

•

1

3

•

2

3

•

2

3

=

70

81

．
（2）由題ξ～B（4，

2

3

），P（ξ=k）=

C

k 4

(

2

3

)k(

1

3

)4-k，k=0，1，2，3，4，
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

期望Eξ=4×

2

3

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．