Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x，a∈R．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f （x）在區(qū)間 （-1，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x進(jìn)行求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，然后將參數(shù)a進(jìn)行分離可求出所求；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，將函數(shù)f（x）在（-1，2）有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0在（-1，2）上有兩個(gè)不等的根，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-3x，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
則必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+x在（-1，2）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴方程3x²-2ax-3=0在（-1，2）上有兩個(gè)不等的根，
∴

△＞0 f′(-1)＞0 f′(2)＞0

即

4a2+36＞0 3+2a-3＞0 12-4a-3＞0

，
解得：0＜a＜

9

4

，
∴a的取值范圍是（0，

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的增減，本題屬于中檔題．