Question

某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．
（Ⅰ）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望及甲，乙能通過提交的概率，分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為ξ，η，則ξ的取值分別為1、2、3，η的取值分別，0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）因?yàn)镻（ξ≥2）＞P（η≥2），從做對題的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；從至少正確完成2題的概率考察，甲通過的可能性大，因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為ξ，η，
則ξ的取值分別為1、2、3，η的取值分別，0、1、2、3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
所以考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列為：

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴E（ξ）=1×

1

5

+3×

3

5

+3×

1

5

=2．
因?yàn)棣恰獴（3，

2

3

），所以考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的期望E（η）=3×

2

3

=2．
（Ⅱ）因?yàn)镻（ξ≥2）=

3

5

+

1

5

=

4

5

，
P（η≥2）=

12

27

+

8

27

=

20

27

，所以P（ξ≥2）＞P（η≥2），
從做對題的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；
從至少正確完成2題的概率考察，甲通過的可能性大，
因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查兩人實(shí)驗(yàn)操作能力的判斷，是中檔題，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．