Question

已知點A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線y²=2px，（p＞0）上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）
（1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；
（2）求線段BC中點M的坐標；
（3）求BC所在直線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由點A（2，8）在拋物線y²=2px，（p＞0）上，利用待定系數(shù)法能求出拋物線方程．
（2）由已知條件知F（8，0）是線段AM的定比分點，且

AF

FM

=2，由此能求出點M的坐標．
（3）設BC的直線為：y+4=k（x-11），（k≠0），由

y+4=k(x-11) y2=32x

，得ky²-32y-32（11k+4）=0，由此能求出BC所在的直線方程．

解答： 解：（1）∵點A（2，8）在拋物線y²=2px，（p＞0）上，
∴64=4p，解得p=16，
∴拋物線方程為y²=32x，焦點F的坐標為F（8，0）．
（2）如圖，∵F（8，0）是△ABC的重心，M是BC中點，
∴F是線段AM的定比分點，且

AF

FM

=2，
設點M的坐標為（x₂，y₂），
則

2+2x2

1+2

=8，

8+2y2

1+2

=0，
解得x₂=11，y₂=-4，
∴點M的坐標為M（11，-4）．
（3）∵線段BC的中點M不在x軸上，
∴BC所在的直線不垂直于x軸，設BC的直線為：y+4=k（x-11），（k≠0），
由

y+4=k(x-11) y2=32x

，得ky²-32y-32（11k+4）=0，
∴y1+y2=

32

k

，
由（2）的結(jié)論得

y1+y2

2

=-4，解得k=-4．
∴BC所在的直線方程為4x+y-40=0．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查線段中點坐標的求不法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意定比分點公式的合理運用．