Question

13．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最大值為（　�。�

• A． 18
• B． 24
• C． 28
• D． 32

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），由數(shù)量積運(yùn)算及點(diǎn)P在橢圓上可把$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$表示為x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求其最大值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$的a=4，b=$\sqrt{7}$，c=3，
即有O（0，0），F(xiàn)（-3，0），
設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（x，y）•（x+3，y）=x²+3x+y²，
又點(diǎn)P在橢圓上，即有$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$，
所以x²+3x+7（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）=$\frac{9}{16}$x²+3x+7=$\frac{9}{16}$（x+$\frac{8}{3}$）²+3，
又-4≤x≤4，
所以當(dāng)x=4時(shí)，$\frac{9}{16}$（x+$\frac{8}{3}$）²+3取得最大值為28，
即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最大值為28，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，同時(shí)考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，屬中檔題．