Question

已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x²+y²=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于

2

．
（1）求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；
（2）若直線y=x-2與曲線相交于AB兩點，求弦AB的長．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）由題意得到滿足條件的動點M的集合P={M||MN|=

2

|MQ|}，設出M的坐標，由兩點間的距離公式求得|MQ|，利用切線長、圓的半徑及圓外的點與圓心距離間的關系求得切線長，代入集合P整理求得動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；
（2）直接由弦心距、圓的半徑及半弦長見間的關系列式求得弦AB的長．

解答： 解：（1）設直線MN切圓于N，則動點M組成的集合是：P={M||MN|=

2

|MQ|}
∵圓的半徑|ON|=1，
∴|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1，
設點M的坐標為（x，y），
則

x2+y2-1

=

2

(x-2)2+y2

整理得（x-4）²+y²=7．
∴動點M的軌跡方程是（x-4）²+y²=7．
它表示圓，該圓圓心的坐標為（4，0），半徑為

7

；
（2）由y=x-2，得x-y-2=0，
圓心到直線x-y-2=0的距離d=

2

2

=

2

．
∴|AB|=2

R2-d2

=2

7-2

=2

5

．
∴弦AB的長為2

5

．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓位置關系的應用，訓練了點到直線的距離公式，是中檔題．