Question

2．已知函數(shù)f（x）=mx-alnx-m，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，其中m，a均為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)m=1，a＜0，若對(duì)任意的x₁、x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)，得到g'（x）=0，得到極值點(diǎn)，求出極值．
（Ⅱ）不妨設(shè)x₂＞x₁，則$|f（{x_2}）-f（{x_1}）|＜|{\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}}|$等價(jià)于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值求出參數(shù)范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$g'（x）=\frac{1-x}{{{e^{x-1}}}}$，令g'（x）=0，得x=1，列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值g（1）=1，無(wú)極小值；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，a＜0時(shí)，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞），
∵$f'（x）=\frac{x-a}{x}＞0$在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上為增函數(shù)，
設(shè)$h（x）=\frac{1}{g（x）}=\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，∵$h'（x）=\frac{{{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}＞0$在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上為增函數(shù)，
不妨設(shè)x₂＞x₁，則$|f（{x_2}）-f（{x_1}）|＜|{\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}}|$等價(jià)于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），
設(shè)u（x）=f（x）-h（x）=$x-alnx-1-\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，則u（x）在[3，4]上為減函數(shù)，
∴$u'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{{{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}≤0$在[3，4]上恒成立，
∴$a≥x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$恒成立，∴$a≥{（x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}）_{max}}$，x∈[3，4]，
設(shè)$v（x）=x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，∵$v'（x）=1-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}=1-{e^{x-1}}[{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}]$，x∈[3，4]，
∴${e^{x-1}}[{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}]＞\frac{3}{4}{e^2}＞1$，∴v'（x）＜0，v（x）為減函數(shù)，
∴v（x）在[3，4]上的最大值$v（3）=3-\frac{2}{3}{e^2}$，∴$a≥3-\frac{2}{3}{e^2}$，∴a的最小值為$3-\frac{2}{3}{e^2}$；

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于中檔題型，在高考中經(jīng)常涉及．