Question

f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x） 是k型函數(shù)．給出下列說(shuō)法：①f（x）=3-

4

x

不可能是k型函數(shù)；
②若函數(shù)y=-

1

2

x²+x是3型函數(shù)，則m=-4，n=0；
③設(shè)函數(shù)f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函數(shù)，則k的最小值為

4

9

；
④若函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）是1型函數(shù)，則n-m的最大值為

2 3

3

．
下列選項(xiàng)正確的是（　�。�

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)題目中的新定義，結(jié)合函數(shù)與方程的知識(shí)，逐一判定命題①②③④是否正確，從而確定正確的答案．

解答： 解：對(duì)于①，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3-

4

2

=1，f（4）=3-

4

4

=2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是

1

2

型函數(shù)，
∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，y=-

1

2

x²+x是3型函數(shù)，即-

1

2

x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，∴m=-4，n=0，
∴②正確；
對(duì)于③，f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函數(shù)，則x³+2x²+x=kx有二不等負(fù)實(shí)數(shù)根，
即x²+2x+（1-k）=0有二不等負(fù)實(shí)數(shù)根，
∴

1-k＞0 4-4(1-k)＞0

，解得0＜k＜1，
∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，y=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）是1型函數(shù)，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( a+1 a )2-4• 1 a2

=

1+ 2 a + 1 a2 - 4 a2

=

1+ 2 a - 3 a2

≤

2 3

3

，即n-m的最大值為

2 3

3

，∴④正確．
綜上，正確的命題是②④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了在新定義下函數(shù)的定義域、值域問題以及解方程的問題，是中檔題也是易錯(cuò)題．