Question

2．在平面直角坐標系xOy內(nèi)，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{3}{5}t\\ y=\frac{4}{5}\end{array}\right.（t$為參數(shù)）．以O為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與x軸交于點M，點N在曲線C上，求M，N兩點間距離|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=2ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）直線l與x軸交于點M（2，0），曲線C是圓心為C（0，1），半徑r=1的圓，從而能求出|MC|=$\sqrt{5}$，M，N兩點間距離|MN|的最小值為|MC|-r．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{3}{5}t\\ y=\frac{4}{5}\end{array}\right.（t$為參數(shù)），
∴直線l與x軸交于點M（2，0），
曲線C是圓心為C（0，1），半徑r=1的圓，
|MC|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵點N在曲線C上，
∴M，N兩點間距離|MN|的最小值為：|MC|-r=$\sqrt{5}-1$．

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查兩點間距離的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．