Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b≥1)過點P（2，1），且離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線的l的斜率為

1

2

，直線l與橢圓C交于A、B兩點．求△PAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率得到a，b的關系，再由橢圓過定點P得另一關系式，聯(lián)立后求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系及弦長公式求得弦長，由點到直線的距離公式求出AB邊上的高，代入面積公式后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（I）∵e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，
∴a²=4b²，①
又橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b≥1)過點P（2，1），
∴

4

a2

+

1

b2

=1，②
聯(lián)立①②解得，a²=8，b²=2．
故所求橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（II）設l的方程為y=

1

2

x+m，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+m x2 8 + y2 2 =1

，整理得x²+2mx+2m²-4=0．
∴x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．
則|AB|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5(4-m2)

．
點P到直線l的距離d=

|m|

1+ 1 4

=

2|m|

5

．
因此S△PAB=

1

2

d|AB|=

1

2

×

2|m|

5

×

5(4-m2)

=

m2(4-m2)

≤

m2+4-m2

2

=2．
當且僅當m²=2，即m=±

2

時取得最大值．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系求解，這是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．