Question

【題目】已知定義在R上的奇函數

(1)求實數的值；

(2)判斷的單調性，并證明．

(3)若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) m＝1 (2)見解析(3)

【解析】

（1）由定義在實數集上的奇函數有f（0）＝0列式求解，或直接由奇函數的定義得恒等式，由系數相等求解b的值；

（2）直接利用函數單調性的定義證明；

（3）由函數的奇偶性和單調性，把給出的不等式轉化為含有t的一元二次不等式，分離變量k后求二次函數的最值，則答案可求．

（1）解：法一、∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴，∴m＝1，經檢驗，函數為奇函數；

法二、由是奇函數，則

∴即對一切實數x都成立，

∴m＝1；

（2）由（1）知，f（x）在R上是減函數．

證明：設x1，x2為R上的任意兩個實數，且x1＜x2，

則

．

∵x1＜x2，∴，，，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上是減函數；

（3）∵f（x）既是奇函數，又是實數集上的減函數，

∴不等式f（t﹣2t2）＞f（t2﹣t﹣k）3t2﹣2t>k，

∴對t∈R恒成立，

∴．