Question

15．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}，x≠1}\\{2，x=1}\end{array}\right.$，則在點(diǎn)x=1處，函數(shù)f（x）（　�。�

• A． 不連續(xù)
• B． 連續(xù)不可導(dǎo)
• C． 可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不連續(xù)
• D． 可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)

Answer 1

分析 可將函數(shù)解析式中的絕對值符號去掉，得到分段函數(shù)：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1}\\{2，x=1}\\{-x-1，-1≤x＜1}\\{x+1，x＜-1}\end{array}\right.$，再畫出函數(shù)圖象，得到結(jié)果．

解答 解：因為設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|{x}^{2}-1|}{x-1}，x≠1}\\{2，x=1}\end{array}\right.$，
可將絕對值去掉，得到分段函數(shù)：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞1}\\{2，x=1}\\{-x-1，-1≤x＜1}\\{x+1，x＜-1}\end{array}\right.$，函數(shù)圖象如右圖，
由圖可知，該函數(shù)在1處的右極限時2，左極限為-2，即
$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$f（x）=2，$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$f（x）=-2，
所以，f（x）在x=1處極限不存在，
因為極限不存在，所以不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，
故選A．

點(diǎn)評 本題主要考查了分段函數(shù)的連續(xù)性，涉及函數(shù)的單側(cè)極限和可導(dǎo)性的判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與分類討論的解題思想，屬于中檔題．