Question

5．已知△ABC三邊為a，b，c三邊所對角為A，B，C，滿足 acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（1）求角A．
（2）若a=1，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式轉(zhuǎn)化成角的正弦的關(guān)系式，利用兩角和公式化簡整理可求得cosA的值，進(jìn)而求得A．
（2）先由正弦定理用角C、B表示出c、b，實(shí)現(xiàn)了邊向角的轉(zhuǎn)變，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求值域問題求解．

解答 解：（1）△ABC中，∵acosC+$\frac{1}{2}$c=b，
∴由正弦定理得：sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sin（A+C），
∴sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°…（6分）
（2）∵$\frac{1}{sin60°}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，
同理c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
因?yàn)椤螦=60°，所以B+C=120°，
所以△ABC周長=a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$）]=2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1，…（12分）
因?yàn)?＜A＜$\frac{2π}{3}$，所以 $\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得：sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
所以△ABC周長的取值范圍為（2，3]…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化和化歸的思想，考查了解三角形的有關(guān)知識，考查了學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．