Question

已知△ABC的三條邊分別為a，b，c求證：

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)f(x)=

x

1+x

，x∈(0，+∞)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可得其單調(diào)遞增，利用其單調(diào)性即可證明．

解答： 證明：設(shè)f(x)=

x

1+x

，x∈(0，+∞)，
設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₂＞x₁≥0，
則f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

，
∵x₂＞x₁≥0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f(x)=

x

1+x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
由a+b＞c＞0可得f（a+b）＞f（c）．
即

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．

點(diǎn)評：本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性證明不等式的方法，屬于中檔題．