Question

已知函數(shù)f（x）=sin（

1

2

x+

π

3

），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值及最小值；
（3）將函數(shù)y=sin（

1

2

x+

π

3

）的圖象作怎樣的變換可得到y(tǒng)=sinx的圖象？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）題干x∈[0，π]，求出函數(shù)的相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解函數(shù)的最大值及最小值；
（3）利用三角函數(shù)的平移與實(shí)數(shù)變換將函數(shù)y=sin（

1

2

x+

π

3

）的圖象可得到y(tǒng)=sinx的圖象．

解答： 解：（1）令z=

1

2

x+

π

3

，則y=sinz，
y=sinz的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得：4kπ+

π

3

≤x≤4kπ+

7π

3

，k∈Z，
又z=

1

2

x+

π

3

在R上為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：
[4kπ+

π

3

，4kπ+

7π

3

]k∈Z，
（2）令z=

1

2

x+

π

3

，則y=sinz，z∈[

π

3

，

5π

6

]．
當(dāng)z=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)，f（x）有最大值f（

π

3

）=1，
當(dāng)z=

5π

6

，即x=π時(shí)，f（x）有最小值f（π）=

1

2

；…（8分）
（3）法一：將y=sin（

1

2

x+

π

3

）的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="dfxoyqe" class="MathJye">

1

2

，再向右平移

π

3

個(gè)單位．（12分）
法二：將y=sin（

1

2

x+

π

3

）的圖象向右平移

2π

3

個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="x93ffvb" class="MathJye">

1

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查邏輯思維能力以及計(jì)算能力．