Question

已知圓C：x²+y²+2x-3=0，直線l₁與圓C相交于不同的A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，1）是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求直線l₁的方程；
（2）是否存在與直線l₁平行的直線l₂，使得l₂與圓C相交于不同的兩點(diǎn)E、F（l₂不經(jīng)過圓心C），且△CEF的面積S最大？若存在，求出l₂的方程及對應(yīng)的△CEF的面積S．若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)直線l₁與圓C相交于不同的A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，1）是線段AB的中點(diǎn)，可得CM⊥直線l₁，求出斜率，即可求直線l₁的方程；
（2）設(shè)直線l₂的方程，求出△CEF的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²+2x-3=0，可化為圓C：（x+1）²+y²=4，
∴圓心坐標(biāo)為（-1，0），
∵直線l₁與圓C相交于不同的A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，1）是線段AB的中點(diǎn)，
∴CM⊥直線l₁，
∵k_CM=1，
∴直線l₁的斜率為-1，
∴直線l₁的方程為y=-x+1；
（2）設(shè)直線l₂的方程為y=-x+b，即x+y-b=0，
（-1，0）到直線l₂的距離為d=

|-1-b|

2

＜2，
∴|EF|=2

4-d2

，
∴△CEF的面積S=

1

2

•d•2

4-d2

=

d2(4-d2)

≤

d2+4-d2

2

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)d²=4-d²，即d=

2

時(shí)△CEF的面積S最大，
此時(shí)

|-1-b|

2

=

2

＜2，∴b=1或-3，最大面積為2，
∵直線l₁的方程為y=-x+1，
∴l(xiāng)₂的方程為x+y+3=0．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線與圓的相交關(guān)系的應(yīng)用及基本運(yùn)算的能力．