Question

已知函數f（x）=

ax+b

x2+1

為R上的奇函數，且f（1）=

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在[m，n]上遞增，求n-m的最大值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的奇偶性和f（1）=

1

2

，建立方程即可求出a，b的值．
（2）利用導數求出函數的單調遞增區(qū)間，根據[m，n]與遞增區(qū)間的關系，即可求出n-m的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ax+b

x2+1

為R上的奇函數，
∴f（0）=0，即f（0）=

b

0+1

=0，即b=0，
此時f（x）=

ax

x2+1

，
∵f（1）=

1

2

，
∴f（1）=

a

2

=

1

2

，解得a=1．
（2）∵f（x）=

ax+b

x2+1

=

x

x2+1

，
∴f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，由f′（x）≥0
解得x²≤1，
即-1≤x≤1，即函數在[-1，1]上單調遞增，
若f（x）在[m，n]上遞增，
∴[m，n]⊆[-1，1]，
即當m=-1，n=1時，n-m取得最大值，為1-（-1）=1+1=2．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及函數單調性的應用，利用導數是解決函數單調性的基本方法．