Question

16．已知函數(shù)f（x）是定義在[-7，7]上的偶函數(shù)，且在[0，7]上是減函數(shù)．
（1）若f（x²+1）＜f（2），求實數(shù)x的取值范圍；
（2）當0≤a≤3時，試比較f（a²-a+1）與f（-$\frac{3}{4}$）的大�。�

Answer 1

分析 （1）由f（x）在[0，7]上是減函數(shù)，便可得到x²+1＞2，從而解出該不等式即可得出實數(shù)x的取值范圍；
（2）根據(jù)a的范圍，配方得到${a}^{2}-a+1=（a-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，根據(jù)f（x）在[0，7]上的單調(diào)性便可得出$f（{a}^{2}-a+1）≤f（\frac{3}{4}）=f（-\frac{3}{4}）$．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由f（x²+1）＜f（2）得，$\left\{\begin{array}{l}{0≤{x}^{2}+1≤7}\\{{x}^{2}+1＞2}\end{array}\right.$；
∴1＜x$≤\sqrt{6}$，或$-\sqrt{6}$≤x＜-1；
∴實數(shù)x的取值范圍為$（1，\sqrt{6}]∪[-\sqrt{6}，-1）$；
（2）${a}^{2}-a+1=（a-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}$；
$f（-\frac{3}{4}）=f（\frac{3}{4}）$；
f（x）在[0，7]上為減函數(shù)；
∴$f（{a}^{2}-a+1）≤f（-\frac{3}{4}）$．

點評 考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義解不等式，比較函數(shù)值的大小，以及配方法處理二次式子．