Question

設(shè)x，y滿足約束條件

x 3a + y 4a ≤1 x≥0 y≥0

，若z=

x+2y+3

x+1

的最小值為

3

2

，則a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=

x+2y+3

x+1

=

x+1+2(y+1)

x+1

=1+2•

y+1

x+1

，設(shè)k=

y+1

x+1

，利用k的幾何意義，求出確定取得最小值的點(diǎn)，即可求出a的值．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則z=

x+2y+3

x+1

=

x+1+2(y+1)

x+1

=1+2•

y+1

x+1

，
設(shè)k=

y+1

x+1

，則k的幾何意義為動點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)D（-1，-1）的斜率，
則z=1+2k，
由z=1+2k的最小值為

3

2

，
即k的最小值為

1

4

，
即直線經(jīng)過排名區(qū)域的最低點(diǎn)A，
由

y=0 x 3a + y 4a =1

，解得

x=3a y=0

，
即A（3a，0），
此時滿足

0+1

3a+1

=

1

4

，解得a=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義以及直線斜率的定義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．