18.已知函數(shù)f(x)=asinx+(2-b)cosx(a>0,b>0)關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱,則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為2.

分析 由題意可得f(0)=f($\frac{π}{2}$),即 a+b=2,再根據(jù)$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{2a}$+$\frac{a}{2b}$,利用基本不等式求得它的最小值.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=asinx+(2-b)cosx(a>0,b>0)關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱,
∴f(0)=f($\frac{π}{2}$),即 2-b=a,即 a+b=2,
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{2a}$+$\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{2a}$+$\frac{a}{2b}$≥1+$\sqrt{\frac{a}{2b}•\frac{2a}}$=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),取等號(hào),
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為2,
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題主要正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性的性質(zhì),基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

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