給定橢圓．稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

(1) ； (2) 垂直．

解析試題分析：（1）由“橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為”知：從而可得橢圓的標準方程和“準圓”的方程；
（2）分兩種情況討論：①當中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．
對于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；
對于②設(shè)經(jīng)過準圓上點與橢圓只有一個公共點的直線為
與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去得到關(guān)于的方程：
由化簡整理得：
而直線的斜率正是方程的兩個根，從而
（1）
橢圓方程為
準圓方程為
（2）①當中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，
因為與橢圓只有一個共公點，則其方程為
當方程為時，此時與準圓交于點
此時經(jīng)過點（或）且與橢圓只有一個公共瞇的直線是（或）
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線也垂直．
②當都有斜率時，設(shè)點其中
設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為
則由消去，得

由化簡整理得：
因為，所以有
設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點
所以滿足上述方程
所以，即垂直,
綜合①②知, 垂直．
考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與圓錐曲線的綜合問題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過點P（1.），離心率e=，直線l的方程為x=4.

（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點，是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.判斷以為直徑的圓是否過點，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2，點P（2，），點F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知圓，經(jīng)過橢圓的右焦點F及上頂點B，過圓外一點傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知曲線的方程為，過原點作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，如此下去，一般地，過點作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，設(shè)點（）．
（1）指出，并求與的關(guān)系式（）；
（2）求（）的通項公式，并指出點列，， ，，  向哪一點無限接近？說明理由；
（3）令，數(shù)列的前項和為，設(shè)，求所有可能的乘積的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，為坐標原點，橢圓的右準線與軸的交點是．
（1）點在已知橢圓上，動點滿足，求動點的軌跡方程；
（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點，求的面積的最大值

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