Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，BD與EF交于點H，G為BD中點，點R在線段BH上，且 =λ（λ＞0）．現將△AED，△CFD，△DEF分別沿DE，DF，EF折起，使點A，C重合于點B（該點記為P），如圖2所示．

（I）若λ=2，求證：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）是否存在正實數λ，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為 ？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）證明：由題意，PE，PF，PD三條直線兩兩垂直，∴PD⊥平面PEF， 圖1中，EF∥AC，∴GB=2GH，
∵G為BD中點，∴DG=2GH．
圖2中，∵ =2，∴△PDH中，GR∥PD，
∴GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）解：由題意，建立如圖所示的坐標系，設PD=4，則P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），
∵ =λ，∴R（ ， ，0），
∴ =（ ，﹣ ，0），
∵ =（2，﹣2，0）， =（0，2，﹣4），
設平面DEF的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，取 =（2，2，1），
∵直線FR與平面DEF所成角的正弦值為 ，
∴ = ，
∴λ= ，
∴存在正實數λ= ，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為 ．

【解析】（I）若λ=2，證明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可證明：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系，求出平面DEF的一個法向量，利用直線FR與平面DEF所成角的正弦值為 ，建立方程，即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．