【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥1時,討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù).

【答案】
(1)解:f(x)的定義域是(0,+∞),m>0,

f′(x)=

令f′(x)>0,解得:x> ,令f′(x)<0,解得:x< ,

∴f(x)在(0, )遞減,在( ,+∞)遞增


(2)解:f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù),

即函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x的零點(diǎn)個數(shù)問題,

h′(x)=﹣

令h′(x)>0,解得:1<x<m,令h′(x)<0,解得:x>m或x<1,

∴h(x)在(0,1)遞減,在(1,m)遞增,在(m,+∞)遞減,

∴h(x)極小值=h(1)=m+ >0,

∴h(x)和x軸有1個交點(diǎn),

即函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)是1個


【解析】(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x的零點(diǎn)個數(shù)問題,通過求導(dǎo),得到函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間,求出h(x)的極小值,從而求出函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個數(shù)即f(x)和g(x)的交點(diǎn)個數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)關(guān)于x的方程f(4x﹣b)+f(﹣2x+1)=0有實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍.

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【題目】如圖,已知圓O外有一點(diǎn)P,作圓O的切線PM,M為切點(diǎn),過PM的中點(diǎn)N,作割線NAB,交圓于A、B兩點(diǎn),連接PA并延長,交圓O于點(diǎn)C,連續(xù)PB交圓O于點(diǎn)D,若MC=BC.

(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),關(guān)于的不等式只有兩個整數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在一條公路上,每隔100km有個倉庫(如圖),共有5個倉庫.一號倉庫存有10t貨物,二號倉庫存20t,五號倉庫存40t,其余兩個倉庫是空的.現(xiàn)在想把所有的貨物放在一個倉庫里,如果每噸貨物運(yùn)輸1km需要0.5元運(yùn)輸費(fèi),那么要多少才行?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)的值域為,若,則實數(shù)的取值范圍為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O(shè)為圓心, OA為半徑作圓.

(1)證明:直線AB與⊙O相切;
(2)點(diǎn)C,D在⊙O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明:AB∥CD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)T,對任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.給出如下函數(shù):①f(x)=x;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=x2;則屬于集合M的函數(shù)個數(shù)為(
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)f(x)= ,則該函數(shù)在(﹣∞,+∞)上是(
A.單調(diào)遞減無最小值
B.單調(diào)遞減有最小值
C.單調(diào)遞增無最大值
D.單調(diào)遞增有最大值

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