Question

已知函數(shù)y=x³-3x+c的圖象與x軸至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c的取值范圍是（　�。�

• A、[-2，2]
• B、（-2，2）
• C、[2，+∞）
• D、（-∞，-2]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)y=x³-3x+c的圖象與x軸至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)為f_極小值（x）≤0≤f_極大值（x），利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
由f′（x）=3（x-1）（x+1）＞0，解得x＞1或x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=（x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
在x=-1，函數(shù)f（x）取得極大值f_極大值（x）=f（-1）=2+c，
在x=1，函數(shù)f（x）取得極小值f_極小值（x）=f（1）=-2+c，
要使y=x³-3x+c的圖象與x軸至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)為f_極小值（x）≤0≤f_極大值（x），
即

-2+c≤0 2+c≥0

，
則

c≤2 c≥-2

，
解得-2≤c≤2，
故c的取值范圍是[-2，2]，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)方程個(gè)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．