Question

若f（x）=-

1

2

x²+blnx在[1，+∞）上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（　　）

• A、[-1，+∞）
• B、（-1，+∞）
• C、（-∞，1]
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求f′（x），要讓f（x）在[1，+∞）是減函數(shù)，只要f′（x）＜0，所以討論b的取值，通過(guò)觀察所求的導(dǎo)函數(shù)，分b≤0，b＞0，兩種情況進(jìn)行討論，對(duì)于b大于0的情況，求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間，讓區(qū)間[1，+∞）含于所求單調(diào)減區(qū)間即可求得b的取值．

解答： 解：f′（x）=-x+

b

x

=

b-x2

x

，所以：
b≤0時(shí)，對(duì)于x∈（0，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
b＞0時(shí)，∵x＞0，∴解

b-x2

x

＜0得x＞

b

，即函數(shù)f（x）在[

b

，+∞）上是減函數(shù)，∴

b

≤1，∴0＜b≤1．
綜上可得b的取值范圍是（-∞，1]．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，本題需注意的是，求得f（x）在[

b

，+∞)上單調(diào)遞減后，需限制它包含區(qū)間[1，+∞），從而得出b的取值范圍．