Question

12．長為3的線段兩端點A，B分別在x軸正半軸和y軸的正半軸上滑動，$\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$，點P的軌跡為曲線C．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 T的極坐標(biāo)方程為ρ=-4sinθ．
（ I）以直線AB的傾斜角α為參數(shù)，求曲線C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若D為曲線 T上一點，求|PD|的最大值．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把：
（1）設(shè)P（x，y），由題設(shè)可知，則$x=\frac{2}{3}|AB|cos（π-α）=-2cosα$，$y=\frac{1}{3}|AB|sin（π-α）=sinα$，即可得出參數(shù)方程；
（2）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲線 T的極坐標(biāo)方程ρ=-4sinθ即ρ²=-4ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程，再利用兩點之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由題設(shè)可知，則$x=\frac{2}{3}|AB|cos（π-α）=-2cosα$，$y=\frac{1}{3}|AB|sin（π-α）=sinα$，
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)，$\frac{π}{2}＜α＜π$）．
（2）由曲線 T的極坐標(biāo)方程為ρ=-4sinθ，化為ρ²=-4ρsinθ，
可得：直角坐標(biāo)方程為x²+y²=-4y，即x²+（y+2）²=4，是圓心為A（0，-2）半徑為2的圓，
故|PA|²=（-2cosα）²+（sinα+2）²=4cos²α+sin²α+4sinα+4=$-3{sin^2}α+4sinα+8=-3{（sinα-\frac{2}{3}）^2}+\frac{28}{3}$．
當(dāng)$sinα=\frac{2}{3}$時，|PA|取得最大值$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$．
∴|PD|的最大值為$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$+2．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的參數(shù)方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．