Question

當(dāng)x₂＞x₁＞0時(shí)，求證：(1+x1)x2＞(1+x2)x1．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令h（x）=

ln(1+x)

x

，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)的符號求得h（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，可得當(dāng)x₂＞x₁＞0時(shí)，h（x₂）＜h（x₁），化簡可得要征得結(jié)論．

解答： 證明：令h（x）=

ln(1+x)

x

，x＞0，則h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x

．
令p（x）=

x

x+1

-ln（1+x），
則p′（x）=

-x

(1+x)2

＜0，故p（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
再根據(jù)p（0）=0，可得當(dāng)x＞0時(shí)，p（x）＜0，故h′（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）是減函數(shù)．
當(dāng)x₂＞x₁＞0時(shí)，h（x₂）＜h（x₁），
即

ln(1+x2)

x2

＜

ln(1+x1)

x1

，
即 x₁ln（1+x₂）＜x₂ln（1+x₁），
即 ln(1+x2)x1＜ln(1+x1)x2，
即(1+x1)x2＞(1+x2)x1．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．