Question

已知函數(shù)F（x）=sin（ωx+

π

6

），其中ω＞0．若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

2

，求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求最小正實數(shù)m，使得函數(shù)F（x）圖象向左平移m個單位后對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由兩對稱軸間的距離求得半周期，進一步得到周期，由周期公式求得ω，則函數(shù)解析式可求；
（2）把函數(shù)F（x）圖象向左平移m個單位后，由x=0時對應(yīng)的函數(shù)值為0求得m的所有取值，則最小正實數(shù)m可求．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

2

，
∴

T

2

=

π

2

，T=π．
則ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
∴F（x）=sin（2x+

π

6

）；
（2）∵m＞0，
∴函數(shù)F（x）圖象向左平移m個單位后對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin[2（x+m）+

π

6

]=sin[2x+（2m+

π

6

）]．
要使該函數(shù)為奇函數(shù)，則sin（2m+

π

6

）=0，2m+

π

6

=kπ，k∈Z．
∴m=

kπ

2

-

π

12

，k∈Z．
當(dāng)k=1時，m取最小正數(shù)

5π

12

．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的周期及其求法，考查了三角函數(shù)的圖象平移問題，訓(xùn)練了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，有f（0）=0，是中檔題．