Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+1（n=2k-1，k∈{N}^{*}）}\\{（-1）^{\frac{n}{2}}•n（n=2k，k∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$，且a₁=1，a₂=2，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若S_n≤2046成立的最大n值為（　　）

• A． 17
• B． 18
• C． 19
• D． 20

Answer 1

分析 當n=2k-1時，（k∈N^*），a_2k+1=2a_2k-1+1，化為a_2k+1+1=2（a_2k-1+1），可得數(shù)列{a_2k-1+1}是等比數(shù)列，得到a_2k-1=2^k-1．當n=2k時，（k∈N^*），a_2k+2=（-1）^k（2k）．當n=2k時，S_n=S_2k=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）．當n=2k-1時，S_n=S_2k-1=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k-2）．分別令k=10，可得S₂₀與S₁₉，與2046比較即可得出．

解答 解：當n=2k-1時，（k∈N^*），a_2k+1=2a_2k-1+1，化為a_2k+1+1=2（a_2k-1+1），
∴數(shù)列{a_2k-1+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴a_2k-1=2^k-1．
當n=2k時，（k∈N^*），a_2k+2=（-1）^k（2k）．
∴當n=2k時，S_n=S_2k=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）
=（2+2²+…+2^k-k）+[2-2×2+2×3-2×4+…+（-1）^k•2k]
=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$-k+[2-2×2+2×3-2×4+…+（-1）^k•2k]，
令k=10，S₂₀=2（2¹⁰-1）-10-10=2026＜2046．
當n=2k-1時，S_n=S_2k-1=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k-2）
=（2+2²+…+2^k-k）+[2-2×2+2×3-2×4+…+（-1）^k-1•2（k-1）]
=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$-k+[2-2×2+2×3-2×4-…+（-1）^k-1•2（k-1）]，
令k=10，S₁₉=2（2¹⁰-1）-10+10=2046．
∴S_n≤2046成立的最大n值為19．
故選：C．

點評 本題考查了分段數(shù)列的性質、等比數(shù)列的前n項和公式、遞推式的應用，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．