Question

11．已知（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且S_n=a₁+2a₂+…+na_nn∈N^*，那么當n∈N^*時，$\sum_{i=1}^n{S_i}$=（n-1）×2ⁿ +1．

Answer 1

分析 對于等式（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=1并且兩邊同時取導數可得n2^n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，可得$\sum_{i=1}^n{S_i}$=1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，再用錯位相減法求得$\sum_{i=1}^n{S_i}$的值．

解答 解：對于等式（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1并且兩邊同時取導數可得，n2^n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
∴$\sum_{i=1}^n{S_i}$=1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2$\sum_{i=1}^n{S_i}$=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
錯位相減法可得-$\sum_{i=1}^n{S_i}$=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n2ⁿ =$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
化簡求得$\sum_{i=1}^n{S_i}$=（n-1）×2ⁿ +1，
故答案為：（n-1）×2ⁿ +1．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，用錯位相減法進行數列求和，屬于中檔題．