【題目】已知橢圓C:的左、右焦點分別為,,離心率為,點在橢圓C上,且⊥,△F1MF2的面積為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知直線l與橢圓C交于A,B兩點,,若直線l始終與圓相切,求半徑r的值.
【答案】(1).(2).
【解析】
(1)由橢圓離心率為,點M在橢圓C上,且MF2⊥F1F2,△F1MF2的面積為,列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,代入橢圓方程式,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由此利用韋達定理、根的判別式、點到直線的距離公式能求出半徑的r的值.
(1)設(shè),由題意得
∴,
故橢圓C的方程為.
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)其直線方程為,設(shè)A(,),B(,),
聯(lián)立方程組,整理得,
由方程的判別式△=64k2m2﹣4(4k2+1)(4m2﹣4)>0,
得(1)
,,由∠AOB=90°,得
即
而,則
∴
整理得
把代入(1)得.
而,∴,顯然滿足,
直線l始終與圓相切,得圓心(0,0)到直線l的距離d=r,
則,
由,得
∵,∴.
當(dāng)直線l的斜率不存在時,若直線l與圓相切,此時直線l的方程為.
∴
綜上所述:.
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【題目】已知函數(shù)在與時都取得極值.
(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對,不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),現(xiàn)得到他們在培訓(xùn)期間參加的8次比賽成績?nèi)缦拢杭祝?/span>81,79,95,88,84,93,78,82;乙:80,83,92,85,75,95,80,90.
(1)試畫出甲、乙兩位同學(xué)比賽成績的莖葉圖,你能從莖葉圖中獲取哪些信息?(不少于三條)
(2)在甲同學(xué)的8次比賽成績中,從不小于80分的成績中隨機抽取2個成績,列出所有可能的結(jié)果,并求抽出的2個成績均大于85分的概率.
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【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數(shù) (萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量 (袋),得到如下統(tǒng)計表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
參會人數(shù) (萬人) | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 (袋) | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
(1)根據(jù)所給5組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程.
(2)已知購買原材料的費用 (元)與數(shù)量 (袋)的關(guān)系為,
投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元,多余的原材料只能無償返還,據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加,根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程,預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料,才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?(注:利潤銷售收入原材料費用).
參考公式: , .
參考數(shù)據(jù): , , .
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【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)在ΔABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(A)=1,c=10,cosB=,求ΔABC的中線AD的長.
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【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù),其中為實數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)用定義證明在上是減函數(shù);
(3)若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足,.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)給出定義:若s,t,r滿足,則稱s比t更接近于r,當(dāng)x≥1時,試比較和哪個更接近,并說明理由.
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【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
()
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤.試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標準煤?
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【題目】某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊,平均分到甲、乙兩個村進行義務(wù)巡診,其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士,則不同的分配方案有
A. 72種 B. 36種 C. 24種 D. 18種
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