Question

數(shù)列的前項和為，，函數(shù)．

（1）求的值和數(shù)列的通項公式；

（2）證明：當時，；

（3）求證：．

 

Answer 1

（1）、；（2）證明：當時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以；（3）證明：由（2）知，，所以.

令 ① ②

②-①整理得，故.

【解析】

試題分析：（1）首先令，由可得；然后根據(jù)公式，并將題設中的等式代入化簡整理得判斷出數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得；（2）證明函數(shù)，當時單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論；（3）利用放縮法，結(jié)合錯位相減法，即可證明結(jié)論．

試題解析：（1）【解析】
時，，所以.又因為，所以當時，，即，即，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，當時，也滿足上式．故.

（2）證明：當時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以；

（3）證明：由（2）知，，

所以.

令 ① ②

②-①整理得，故.

考點：數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和．