Question

已知圓C的半徑為3，圓心C在直線2x+y=0上且在x軸的下方，x軸被圓C截得的弦長(zhǎng)BD為2

5

．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓E與圓C關(guān)于直線2x-4y+5=0對(duì)稱，P（x，y）為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求

(x-1)2+(y+2)2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由題意可設(shè)方程為（x-a）²+（y+2a）²=9，由條件可得a=1，進(jìn)而可得方程；
（2）設(shè)圓心E（m，n），由對(duì)稱關(guān)系可得m=-2，n=4，半徑為3，

(x-1)2+(y+2)2

表示圓E上的點(diǎn)與（1，-2）的距離，即可求出

(x-1)2+(y+2)2

的取值范圍．．

解答： 解：（1）由題意設(shè)圓心坐標(biāo)（a，-2a）---（1分），則圓方程為（x-a）²+（y+2a）²=9----（2分）
作CA⊥x軸于點(diǎn)A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=

5

，∴CA=2，-------（4分）
所以|-2a|=2，解得a=±1-----------（5分）
又因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸的下方，所以a=1，即C（1，-2）-----------（6分）
所以圓方程為：（x-1）²+（y+2）²=9------------（7分）
（2）設(shè)圓心E（m，n），由題意可知點(diǎn)E與點(diǎn)C是關(guān)于直線2x-4y+5=0對(duì)稱，
所以有

2× 1+m 2 -4× n-2 2 +5=0 n+2 m-1 × 1 2 =-1

--------（9分）可解得m=-2，n=4------------（11分）
所以點(diǎn)E（-2，4）且圓E的半徑為3--------（12分）
所以圓E的方程為（x+2）²+（y-4）²=9，

(x-1)2+(y+2)2

表示圓E上的點(diǎn)與（1，-2）的距離．
因?yàn)椋?，-2）與點(diǎn)E（-2，4）的距離為

(1+2)2+(-2-4)2

=3

5

，
所以

(x-1)2+(y+2)2

的取值范圍為[3

5

-3，3

5

+3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，以及對(duì)稱問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．