【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓.

求橢圓的方程;

已知為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.

【答案】(1)(2)6

【解析】試題分析:(1)由橢圓定義得到動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立可得,通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系表示弦長(zhǎng)進(jìn)而得到四邊形面積的表達(dá)式,利用換元法及均值不等式求最值即可.

試題解析:

解:可得,,又因?yàn)?/span>,所以.

所以橢圓方程為,又因?yàn)?/span>在橢圓上,所以.

所以,所以,故橢圓方程為.

方法一:設(shè)的方程為,聯(lián)立,

消去,設(shè)點(diǎn),

,

所以,

,由

函數(shù),

故函數(shù),在上單調(diào)遞增

,故

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

四邊形面積的最大值為.

方法二:設(shè)的方程為,聯(lián)立,

消去,設(shè)點(diǎn),

點(diǎn)到直線的距離為,

點(diǎn)到直線的距離為

從而四邊形的面積

,

函數(shù),

故函數(shù),在上單調(diào)遞增,

,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,四邊形面積的最大值為.

方法三:①當(dāng)的斜率不存在時(shí),

此時(shí),四邊形的面積為.

當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè)為:,

四邊形的面積

,

,

,

綜上,四邊形面積的最大值為.

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贊同限行

不贊同限行

合計(jì)

沒(méi)有私家車

90

20

110

有私家車

70

40

110

合計(jì)

160

60

220

(1)根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“是否贊同限行與是否擁有私家車”有關(guān);

(2)為了了解限行之后是否對(duì)交通擁堵、環(huán)境污染起到改善作用,從上述調(diào)查的不贊同限行的人員中按分層抽樣抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽出3名進(jìn)行電話回訪,求3人中至少抽到1名“沒(méi)有私家車”人員的概率.

附:.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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