Question

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（

2

cosB，

2

sinB），向量

n

=（cosc，-sinc），若|

m

-

n

|=

5

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4

2

，且△ABC的面積為16，求b，c．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由向量的模長可得cos（B+C）=-

2

2

，由誘導公式可得cosA=

2

2

，由A的范圍可得；
（2）由余弦定理可得（4

2

）²=b²+c²-2bccos

π

4

，由面積公式可得S=

1

2

bcsin

π

4

=16，化簡聯(lián)立方程組解之可得答案．

解答： 解：（1）∵

m

=（

2

cosB，

2

sinB），

n

=（cosc，-sinc），
∴|

m

-

n

|=（

2

cosB-cosC，

2

sinB+sinc），
又∵|

m

-

n

|=

5

，∴（

2

cosB-cosC）²+（

2

sinB+sinc）²=5，
展開化簡可得-

2

（cosBcosC-sinBsinC）=1，
∴cos（B+C）=-

2

2

，∴cosA=-cos（B+C）=

2

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

4

（2）由余弦定理可得（4

2

）²=b²+c²-2bccos

π

4

，
化簡可得32=b²+c²-

2

bc，①
又△ABC的面積為S=

1

2

bcsin

π

4

=16，即

2

bc=64，②
把②①代入①可得b²+c²=96，③
聯(lián)立①③可解得b=8，c=4

2

，或b=4

2

，c=8

點評：本題考查正余弦定理的應(yīng)用，涉及向量的模長公式，屬中檔題．