Question

已知橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸長為4

2

，一條準(zhǔn)線的方程為y=

8 7

7

．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）射線y=2

2

x（x≥0）與橢圓的交點(diǎn)為M，過M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)異于M）．求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1．由題意得

2a=4 2 a2 c = 8 7 7

，由此能求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)k＞0，求出M（

2

2

，2）．直線MA方程為y-2=k(x-

2

2

)，直線MB方程為y-2=-k(x-

2

2

)．分別與橢圓方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由此能證明直線AB的斜率為定值．

解答： （Ⅰ）解：由準(zhǔn)線為y=

8 7

7

知焦點(diǎn)在y軸上，
則可設(shè)橢圓方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1．
又

2a=4 2 a2 c = 8 7 7

，解得

a=2 2 b=1 c= 7

，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+

y2

8

=1．
（Ⅱ）證明：∵斜率k存在，不妨設(shè)k＞0，求出M（

2

2

，2）．
直線MA方程為y-2=k(x-

2

2

)，
直線MB方程為y-2=-k(x-

2

2

)．
分別與橢圓方程聯(lián)立，
解出xA=

2 k2-4k

k2+8

-

2

2

，xB=

2 k2+4k

k2+8

-

2

2

．
∴

yA-yB

xA-xB

=

k(xA-xB)

xA-xB

=2

2

．
∴kAB=2

2

（定值）．
∴直線AB的斜率為定值2

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線的斜率為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．