Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，BC=2

2

，且∠A₁AB=∠A₁AC=60°，則該三棱柱的體積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：因為AB=AC=2，BC=2

2

，所以∠CAB=45°．由于∠A₁AB=∠A₁AC=60°，所以點(diǎn)A₁在底面內(nèi)的投影點(diǎn)O必定在底部三角形ABC的∠BAC的角平分線上，進(jìn)而可以求得線面角A₁AO，再在直角三角形A₁AO中解出該棱柱的高即可求其體積．

解答： 解：∵AB=AC=2，BC=2

2

，∴∠CAB=45°．
∵∠A₁AB=∠A₁AC=60°，
∴點(diǎn)A₁在底面內(nèi)的投影點(diǎn)O必定在底部三角形ABC的∠BAC的角平分線上，
由公式cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB?cos60°=cos∠A₁AO×cos45°
∴cos∠A₁AO=

2

2

∴在直角三角形A₁A0中：A₁O=

2

∴該柱體的體積為：

1

2

•2•2•

2

=2

2

．
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評：此題考查了線面角的定理，柱體的體積公式，公式cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB，屬于中檔題．