Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若對任意實數x，不等式2x≤f（x） （x+1）2恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求a的取值范圍；
（3）若函數g（x）=f（x）+2a|x﹣1|，x∈[﹣2，2]的最小值為﹣1，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=1，由2x≤f（x） （x+1）2可得，

2≤f（1）≤2，∴f（1）=2

（2）解：由f（1）=2可得a+b+c=2，即為b=2﹣（a+c），

∵對于一切實數x，f（x）﹣2x≥0恒成立，

∴ax2+（b﹣2）x+c≥0（a≠0）對于一切實數x恒成立，

∴ ，即 ．

可得（a﹣c）2≤0，但（a﹣c）2≥0，即有a=c＞0，

則f（x）=ax2+bx+a，

f（x） （x+1）2恒成立，即為（a﹣ ）x2+（b﹣1）x+（a﹣ ）≤0，

可得a﹣ ＜0，且△=（b﹣1）2﹣4（a﹣ ）2≤0，

由b﹣1=1﹣2a，即有△=0成立；

綜上可得a的范圍是（0， ）

（3）解：函數g（x）=f（x）+2a|x﹣1|=ax2+（2﹣2a）x+a+2a|x﹣1|（0＜a＜ ），

當1≤x≤2時，g（x）=ax2+2x﹣a在[1，2]遞增，可得x=1時，取得最小值2；

當﹣2≤x＜1時，g（x）=ax2+（2﹣4a）x+3a，對稱軸為x= ，

當 ≤﹣2，即為0＜a≤ 時，[﹣2，1）遞增，

可得x=﹣2取得最小值，且為4a﹣4+8a+3a=﹣1，解得a= ；

當 ＞﹣2，即 ＜a＜ 時，

x= ，取得最小值，且為 =﹣1，

解得a= （ ， ）．

綜上可得，a=

【解析】（1）在給出不等式中，令x=1，根據這個條件可求出f（1）的值；（2）聯立f（1）=2，即可求出a+c與b的關系式．由f（x）﹣2x≥0恒成立，即：ax2+（b﹣1）x+c≥0對于一切實數x恒成立，只有當a＞0，且△=（b﹣2）2﹣4ac≤0時，求得a=c＞0，再由f（x） （x+1）2恒成立，可得二次項系數小于0，判別式小于等于0，解不等式即可得到a的范圍；（3）討論當1≤x≤2時，當﹣2≤x＜1時，去掉絕對值，運用二次函數的對稱軸和區(qū)間的關系，求得最小值，解方程可得a的值．