Question

13．對于函數y=lg$\frac{x}{100}$的圖象給出三個命題：下述命題中正確命題的序號是（1），（2），（3）．
（1）存在直線l₁，函數y=lg$\frac{x}{100}$的圖象與函數y=100•10^x的圖象關于直線l₁對稱；
（2）存在直線l₂，函數y=lg$\frac{x}{100}$的圖象與函數y=log_0.1$\frac{x}{100}$的圖象關于直線l₂對稱；
（3）存在直線l₃，函數y=lg$\frac{x}{100}$的圖象與函數y=log_0.1x的圖象關于直線l₃對稱．

Answer 1

分析 逐個考察各函數，并構造出相應的對稱直線，
①先考察原函數y=f（x）=lg$\frac{x}{100}$的反函數y=f^-1（x）；
②再考察函數：y=-f（x）；
③最后考察函數：y=-2-f（x）．

解答 解：①先考察原函數y=f（x）=lg$\frac{x}{100}$的反函數y=f^-1（x），
由y=lg$\frac{x}{100}$，解得x=100•10^y，所以，反函數為f^-1（x）=100•10^x，
因為，函數y=lg$\frac{x}{100}$的圖象與函數y=100•10^x的圖象關于直線y=x軸對稱，
所以，存在直線l₁：y=x，使得命題（1）為真；
②再考察函數：y=-f（x），函數y=-f（x）=-lg$\frac{x}{100}$=log_0.1$\frac{x}{100}$，
而y=f（x）與y=-f（x）的圖象關于直線y=0軸對稱，
所以，存在直線l₂：y=0，使得命題（2）為真；
③最后考察函數：y=-2-f（x），函數y=-2-f（x）=-2+log_0.1$\frac{x}{100}$=log_0.1x，
而y=f（x）與y=-2-f（x）的圖象關于直線y=-1軸對稱，
所以，存在直線l₃：y=-1，使得命題（3）為真．
故答案為：（1），（2），（3）．

點評 本題主要考查了函數的圖象和性質，涉及指數函數與對數函數圖象的對稱性，屬于中檔題．