Question

已知函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數f（x）的最小值為g（a），令m=g（a），求m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²+|x-1|+1=f(x)=

x2+x，x≥1 x2-x+2，x＜1

，易求當x=

1

2

時，f（x）_min=

7

4

；
（Ⅱ）依題意，可求得g(a)=

3 4 +a，a≥ 1 2 a2+1，- 1 2 ＜a＜ 3 4 -a，a≤- 1 2

1

2

，從而可求得其最小值為1，依題意，即可求得m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²+|x-1|+1=f(x)=

x2+x，x≥1 x2-x+2，x＜1

，
當x＜1時，f（x）=(x-

1

2

)2+

7

4

≥

7

4

；
當x≥1時，f（x）=(x+

1

2

)2-

1

4

，在[1，+∞）單調遞增，f（x）≥f（1）=2；
∴f（x）_min=f（

1

2

）=

7

4

…（5分）
（Ⅱ）f(x)=

x2+x-a+1，x≥a x2-x+a+1，x＜a

，
1）當a≥

1

2

，∴f（x）_min=f（

1

2

）=

3

4

+a；…（7分）
2）當-

1

2

＜a＜

1

2

，f（x）_min=f（a）=a²+1；…（9分）
3）當a≤-

1

2

，f（x）_min=f（-

1

2

）=

3

4

-a；…（11分）
所以g(a)=

3 4 +a，a≥ 1 2 a2+1，- 1 2 ＜a＜ 3 4 -a，a≤- 1 2

1

2

，
所以，當a≥

1

2

時，g（a）=

3

4

+a≥

5

4

；
當-

1

2

＜a＜

1

2

時，g（a）=a²+1≥1；
當a≤-

1

2

時，g（a）=

3

4

+a≥

5

4

；
因為m=g（a），所以m∈[1，+∞）．…（15分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，突出考查分類討論思想及最值的應用，屬于中檔題．