【題目】在單位正內(nèi)任取一點(diǎn)P,以PA、PB、PC為邊生成.
(1)當(dāng)分別為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時(shí),求出點(diǎn)P的軌跡.
(2)證明:當(dāng)的周長取最小值時(shí),面積取最大值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
如圖,記.
將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,則,.就是由PA、PB、PC所組成的,且其三個(gè)內(nèi)角,,.
(1)當(dāng)存在時(shí),為直角三角形.
由,知.
所以,點(diǎn)P在三個(gè)單位圓的弧AB、BC、CA上(圖).
當(dāng)存在時(shí),為鈍角三角形.
由,知.
由圓內(nèi)角大于圓周角知,點(diǎn)P在圖中的三個(gè)弓形內(nèi)(陰影部分,不包括邊界).
當(dāng),,同時(shí)成立時(shí),為銳角三角形,得,,.
由圓外角小于圓周角知,點(diǎn)P在圖8中的三個(gè)圓弧外(曲邊內(nèi)部,不包括邊界).
(2)先確定周長取最小值時(shí)點(diǎn)P的位置.為此,將如圖的繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,聯(lián)結(jié)MC、PN.則折線.
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、P、C四點(diǎn)共線時(shí),的周長取最小值.此時(shí),有,即點(diǎn)P為的中心().
下面說明,這恰好是面積取最大值的條件.
在中,由余弦定理和基本不等式有,
故.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
在中,.
由面積公式有
.
兩處放大的地方同時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
由式②有.
所以,.
從而,,代入式①得.
這表明,PA、PB在的中線上,且相交于距頂點(diǎn)處,點(diǎn)P為中心.
所以,當(dāng)點(diǎn)P為的中心時(shí),的周長最短且面積最大,最大值為.
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(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)已知數(shù)列滿足,若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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(2)設(shè)點(diǎn).若直與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.
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(2)求從本社區(qū)的名青少年中隨機(jī)抽取出的調(diào)研人數(shù).
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x(萬元) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
y(萬元) | 8 | 10 | 13 | 17 | 22 |
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)根據(jù)(1)中的回歸方程,判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本12萬元的毛利率更大還是投入成本15萬元的毛利率更大(毛利率)?
相關(guān)公式:,.
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