Question

如圖，直三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中點(diǎn)，△A₁MC₁是等腰三角形，D為CC₁的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)且

CE

EB

=

1

3

．
（Ⅰ）證明：DE∥平面A₁MC₁；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱錐E-A₁MC₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先A₁，M，N，C₁四點(diǎn)共面，再證DE∥平面A₁MC₁；（Ⅱ）AM⊥平面A₁MC₁，

V

E-A1MC1

=

V

D-A1MC1

=

V

M-A1C1D

再進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化．

解答： 解析：（Ⅰ） 取BC中點(diǎn)為N，連結(jié)MN，C₁N，
∵M(jìn)，N分別為AB，CB中點(diǎn)
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四點(diǎn)共面，…（3分）
∵

CE

EB

=

1

3

，BC中點(diǎn)為N，
∴E是CN中點(diǎn)，又D為CC₁的中點(diǎn)，
∴ED∥NC₁，又ED?平面A₁MC₁，NC₁?平面A₁MC₁，DE∥平面A₁MC₁…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，
∴AA₁⊥AB，∵5，AC∩AA₁，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，∴AM⊥平面A₁MC₁，
∵DE∥平面A₁MC₁，∴

V

E-A1MC1

=

V

D-A1MC1

=

V

M-A1C1D

，

V

M-A1C1D

=

1

3

×AM×

1

2

×DC1×A1C1=

2

12

所以三棱錐E-A₁MC₁的體積為

2

12

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，根據(jù)題目條件，將問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力．